การแยกตัวประกอบ

 ตัวประกอบ หมายถึง จำนวนนับที่หารจำนวนนับที่เรากำหนดให้ได้ลงตัว เช่น a จะเป็นตัวประกอบของ b ก็ต่อเมื่อ b หารด้วย a ลงตัว หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ a หาร b ลงตัว
                 ตัวอย่าง
                 30 หารด้วย 6 ลงตัว แสดงว่า 6 เป็นตัวประกอบของ 30 ในขณะที่ 30 หารด้วย 4 ไม่ลงตัว แสดงว่า 4 ไม่เป็นตัวประกอบของ 30 เป็นต้น
                 หรือ
                 จำนวนที่หาร 18 ลงตัวประกอบด้วย 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 แสดงว่า 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 เป็นตัวประกอบของ 18
                จำนวนเฉพาะ หมายถึง จำนวนที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 กับตัวของมันเอง
                การหาตัวประกอบของจำนวนนับใด ๆ จะพบว่า บางจำนวนที่ตัวประกอบเพียง 1 ตัว บางจำนวนมีตัวประกอบ 2 ตัว ในขณะที่บางตัวมีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว
                1 มีตัวประกอบ 1 ตัว คือ 1
                6 มีตัวประกอบ 4 คือ 1 , 2 , 3 , 6
                2 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 , 2 หรืออีกนัยหนึ่งว่า 2 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 กับ ตัวของมันเอง
                3 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 , 3 หรืออีกนัยหนึ่งว่า 3 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 กับ ตัวของมันเอง
                จากตัวอย่างด้านบน เราพบว่า 1 มีตัวประกอบ 1 ตัว 6 มีตัวประกอบ 4 ตัว ในขณะที่ 2 และ 3 มีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 กับ ตัวของมันเอง เราเรียกจำนวนที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัวนี้ว่า จำนวนเฉพาะ
                ตัวประกอบเฉพาะ ตัวประกอบของจำนวนนับใดที่เป็นจำนวนเฉพาะ
                การหาตัวประกอบเฉพาะของจำนวนนับใด ๆ นั้น เราจะต้องหาตัวประกอบทั้งหมดของจำนวนนับนั้น ๆก่อน จากนั้นจึงค่อยพิจารณา ตัวประกอบเหล่านั้นว่า มีจำนวนใดเป็นจำนวนเฉพาะบ้าง ซึ่งจำนวนเฉพาะเหล่านั้นเราเรีนกว่า ตัวประกอบเฉพาะ
                ตัวอย่าง
                ตัวประกอบของ 12 ประกอบ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12
                ตัวประกอบเฉพาะของ 12 ประกอบด้วย 2 , 3
               ทั้งนี้เพราะว่า 2 , 3 เป็นตัวประกอบของ 12 และเป็นจำนวนเฉพาะด้วย

 การแยกตัวประกอบ หมายถึง การเขียนในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะของจำนวนนับนั้น ๆ
                ตัวอย่าง
                12 สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น 2 x 2 x 3
                จากตัวอย่างจะพบว่า 2 และ 3 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 12 ซึ่งอาจมีการคูณซ้ำกันหลายครั้งก็ได้ และการคูณซ้ำกันหลายครั้ง สามารถเขียนในรูปของเลขยกกำลังได้ กล่าวคื อเราจะแยกตัวประกอบของ 12 เป็น x 3 แทน 2 x 2 x 3 ก็ได้ ( อ่านว่า 2 ยกกำลัง 2 )
                ตัวอย่างเพิ่มเติม
                75 สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น 5 x 5 x 3 หรือ x 3
                100 สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น 5 x 5 x 2 x 2 หรือ x

                การแยกตัวประกอบสามารถกระทำได้ดังนี้
                วิธีที่ 1 วิธีเขียนในรูปกระจายของผลคูณของตัวประกอบ
                การแยกตัวประกอบโดยวิธีนี้ เป็นการนำจำนวนนับที่กำหนดมาเขยนในรูปผลคูณของตัวประกอบทีละ 2 จำนวน โดยเขียนไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งกลายเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ
                ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 80
                               80 = 8 x 10
                                    = 2 x 4 x 2 x 5
                                    = 2 x 2 x 2 x 2 x 5
                       ดังนั้น 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5                                  
                       หรือ  80 = x 5
                วิธีที่ 2 วิธีตั้งหาร
                การแยกตัวประกอบโดยวิธีตั้งหาร ใช้วิธีหารสั้น ซึ่งมีขั้นตอนง่าย ๆดังนี้
                1) หารจำนวนนับที่กำหนดให้ด้วยตัวประกอบเเฉพาะของมัน
                2) หารผลหารที่ได้จากข้อ 1 ด้วยตัวประกอบเฉพาะ
                3) ดำเนินการเช่นเดียวกับข้อ 2 จนกระทั่งผลหารสุดท้ายมีค่าเท่ากับ 1
                4) นำตัวหารทั้งหมดคูณกัน จะกลายเป็นการแยกตัวประกอบของจำนวนในข้อ 1
                ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 80
                                       2 )80      
                                       2 )40           
                                       2 )20           
                                       2 )10           
                                       5 ) 5           
                                            1
                       ดังนั้น 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5
                       หรือ  80 = x 5

 ตัวหารร่วมหรือตัวประกอบร่วม หมายถึง จำนวนที่สามารถหารจำนวนนับที่กำหนดให้ตั้งแต่ 2 จำนวนลงตัว
                ขั้นตอนในการหาตัวหารร่วมจะต้องเริ่มจาก
                1) หาตัวประกอบของจำนวนที่กำหนดให้
                2) พิจารณาตัวว่าตัวประกอบใข้อ 1 ซ้ำกันหรือไม่
                3) นำตัวประกอบที่ซ้ำกันเป็นตัวหารร่วม
                ตัวอย่าง จงหาตัวหารร่วมของ 12 , 18
                         ตัวประกอบของ 12 คือ 1 , 2 , 3 , 4 ,6 , 12
                         ตัวประกอบของ 18 คือ 1 , 2 , 3 , 6 , 9 ,18
                         ดังนั้น ตัวประกอบร่วมของ 12 และ 18 คือ 1 , 2 , 3 , 6

ห.ร.ม. บางทีเรียกว่า หารร่วมมาก หมายถึง ตัวหารร่วมที่มีค่ามากที่สุด                 ห.ร.ม. จะเกิดขึ้นเมื่อมีจำนวนนับตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป                 การหาร ห.ร.ม. สามารถหาได้หลายวิธี ดังนี้                 วิธีที่ 1 วิธีหาตัวประกอบ มีขั้นตอนดังนี้                 1) หาตัวประกอบของจำนวนนับที่กำหนดให้                2) หาตัวประกอบร่วม (ตัวหารร่วม) ของจำนวนนับในข้อ 1                 3) นำตัวหารร่วมที่มีค่ามากที่สุดในข้อ 2 เป็น ห.ร.ม.                  ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18                          ตัวประกอบของ 12 คือ 1 , 2 , 3 , 4 ,6 , 12                          ตัวประกอบของ 18 คือ 1 , 2 , 3 , 6 , 9 ,18                          ตัวประกอบร่วมของ 12 และ 18 คือ 1 , 2 , 3 , 6                          ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 6                 วิธีที่ 2 วิธีแยกตัวประกอบ มีขั้นตอนดังนี้                 1) แยกตัวประกอบของจำนวนนับที่กำหนดให้                    2) พิจารณาผลในข้อ 1 ว่ามีจำนวนใดซ้ำกันทุกบรรทัดบ้าง                   3) นำจำนวนที่ซ้ำกันในข้อ 1 คูณกัน                      4) ผลคูณที่ได้จากข้อ 3 เป็น ห.ร.ม.                           ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18                        12 = 2 x 2 x 3                        18 = 2 x 3 x 3                        ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 2 x 3 = 6                 วิธีที่ 3 วิธีตั้งหาร มีขั้นตอนดังนี้                  1) หารจำนวนนับที่กำหนดให้ด้วยตัวประกอบเเฉพาะของมัน                  2) หารผลหารที่ได้จากข้อ 1 ด้วยตัวประกอบเฉพาะ                  3) ในกรณีที่ไม่มีตัวประกอบเฉพาะใดหารผลหารได้ลงตัวทั้งหมด จะหยุดทำการหารทันที                  4) นำตัวหารทั้งหมดคูณกัน ผลคูณที่ได้คือ ห.ร.ม.                  ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18                                  2 ) 12 , 18                                    3 )  6 ,  9                                         2 , 3                   ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 2 x 3 = 6                 วิธีที่ 4 วิธียูคลิก เป็นวิธีการหา ห.ร.ม. ที่เหมาะในกรณีที่มีจำนวนนับ 2 จำนวน และจำนวนนับนั้นมีค่ามาก ๆ ซึ่งมีขั้นตอนดังนี้                  1) นำจำนวนนับที่มีค่าน้อยไปหารจำนวนนับที่มีค่ามาก                  2) จากข้อ 1 ถ้ามีเศษ ให้นำเศษไปหารำนวนนับที่เป็นตัวหารในข้อ 1                  3) ปฎิบัติเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งพบว่าจำนวนนับใดที่เหลือจากการหารแล้วหารลงตัว จำนวนนั้นแหละคือ ห.ร.ม. ค.ร.น

ค.ร.น. บางทีเรียกว่า คูณร่วมน้อย หมายถึง ตัวคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุด                 ค.ร.น.. จะเกิดขึ้นเมื่อมีจำนวนนับตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป                 การหาร ค.ร.น.สามารถหาได้หลายวิธี ดังนี้                 วิธีที่ 1 วิธีหาตัวประกอบ มีขั้นตอนดังนี้                 1) หาว่าจำนวนนับที่กำหนดมาให้เป็นตัวประกอบของจำนวนใดบ้าง                 2) หาตัวคูณร่วมของข้อ 1                 3) นำตัวคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุดในข้อ 2 เป็น ค.ร.น.                  ตัวอย่าง จงหา ค.ร.น. ของ 12 , 18                          12 เป็นตัวประกอบของ 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , ...                          18 เป็นตัวประกอบของ 18 , 36 , 54 , 72 , 90 , ...                          ตัวคูณร่วมของ 12 และ 18 คือ 36 ,72 , ...                          ดังนั้น ค.ร.น.. ของ 12 และ 18 คือ 36                 วิธีที่ 2 วิธีแยกตัวประกอบ มีขั้นตอนดังนี้                 1) แยกตัวประกอบของจำนวนนับที่กำหนดให้                   2) พิจารณาผลในข้อ 1 ว่ามีจำนวนใดซ้ำกันทุกบรรทัดบ้าง ในกรณีที่ไม่มีจำนวนซ้ำกันทุกบรรทัด สามารถลดหลั่นลงได้                  3) นำจำนวนที่ได้ในข้อ 2 คูณกัน                  4) ผลคูณที่ได้จากข้อ 3 เป็น ค.ร.น.                           ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18                        12 = 2 x 2 x 3                        18 = 2 x 3 x 3                        ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 2 x 3 x 2 x 3 = 36                        หรือ ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ x                 วิธีที่ 3 วิธีตั้งหาร มีขั้นตอนดังนี้                  1) หารจำนวนนับที่กำหนดให้ด้วยตัวประกอบเเฉพาะของมัน                  2) ในกรณีที่หารไม่ลงตัวทั้งหมด สามารถลดหลั่นได้ตามลำดับ                  3) หารไปเรื่อย ๆ จนผลหารของทุกจำนวนมีค่าเท่ากับ 1                  4) นำตัวหารทั้งหมดคูณกัน ผลคูณที่ได้คือ ค.ร.น.                  ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18                                  2 ) 12 , 18                                    3 )  6 ,  9                                      2 )2 , 3                                       3 )1 , 3                                             1 , 1                   ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 2 x 3 x 2 x 3 = 36

 อ้างอิง http://home.kku.ac.th/chulao/math/content/factor/factor_content.htm 30/08/2556